Thursday, March 30, 2006

POLINOMIOS

OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS


ADIÇÃO DE POLINÔMIOS



EXEMPLO

Vamos calcular:

(3x²- 6x + 4) + (2x² + 4x – 7)=
=3x²-6x+4+2x²+4x-7=
=3x²+2x²-6x+4x+4-7=
=5x²-2x-3



EXERCÍCIOS

1) Efetue as seguintes adições de polinômios:

a) (2x²-9x+2)+(3x²+7x-1) _______ (R:5x² -2x + 1)
b) (5x²+5x-8)+(-2x²+3x-2) ______ (R:3x² + 8x - 10)
c) (3x-6y+4)+(4x+2y-2) ________ (R:7x -4y +2)
d) (5x²-7x+2)+(2x²+7x-1) _______ (R:7x²+ 1)
e) (4x+3y+1)+(6x-2y-9) _________ (R:10x +1y-8)
f) (2x³+5x²+4x)+(2x³-3x²+x) _____ (R:4x³ +2x²+ 5x)
g) (5x²-2ax+a²)+(-3x²+2ax-a²) ____ (R: 2x²)
h) (y²+3y-5)+(-3y+7-5y²) ________ (R: -4y² + 2)
i) (x²-5x+3)+(-4x²-2x) __________ (R:-3x² - 7x + 3)
j) (9x²-4x-3)+(3x²-10) __________ (R:12x² -4x- 13)



SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS

EXEMPLOS

Vamos calcular:

(5x²-4x+9)-(8x²-6x+3)=
=5x²-4x+9-8x²+6x-3=
=5x²-8x²-4x+6x+9-3=
=-3x²+2x+6

EXERCICIOS

1) Efetue as seguintes subtrações:
a) (5x²-4x+7)-(3x²+7x-1) _____ (R: 2x² - 11x + 8)
b) (6x²-6x+9)-(3x²+8x-2) _____ (R: 3x² - 14x + 11)
c) (7x-4y+2)-(2x-2y+5) _______ (R: 5x - 2y – 3)
d) (4x-y-1)-(9x+y+3) _________ (R: -5x – 2y – 4)
e) (-2a²-3ª+6)-(-4a²-5ª+6) _____ ( R: 2a² +2a)
f) (4x³-6x²+3x)-(7x³-6x²+8x) ___ (R: -3x³ - 5x)
g) (x²-5x+3)-(4x²+6) _________ (R: -3x² -5x -3)
h) (x²+2xy+y²)-(y²+x²+2xy) ____ (R: 0)
i) (7ab+4c-3a)-(5c+4a-10) ______ (R: 7ab -c-7a + 10)


MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS


EXEMPLOS

1) 4x(2x-3y ) =
=4x. 2x – 4x.3y
=8x² - 12xy

2) (3x + 5) . (x + 2)
= 3x(x+2) + 5(x + 2)=
=3x²+6x+5x+10
= 3x² + 11x + 10


EXERCICIOS

1) Calcule os produtos

a) 3(x+y) ____ (R: 3x +3y)
b) 7(x-2y) ___ (R: 7x - 14y)
c) 2x(x+y) ___ (R: 2x² + 2xy)
d) 4x (a+b) ___ (R: 4xa + 4xb)
e) 2x(x²-2x+5) _ (R:2x³ - 4x² + 10x)
f) (x+5).(x+2) __ (R: x² +7x +10)
g) (3x+2).(2x+1) __ (R: 6x² +7x + 2)
h) (x+7).(x-4) ____ (R: x² +3x -28)
i) (3x+4).(2x-1) ___ (R: 6x² +5x -4)
j) (x-4y).(x-y) ____ (R: x² -5xy + 4y²)
k) (5x-2).(2x-1) ___ (R: 10x² -9x + 2)
l) (3x+1).(3x-1) ___ (R: 9x² - 1)
m) (2x+5).(2x-5) __ (R: 4x² - 25)
n) (6x²-4).(6x²+4) __ (R:
o) (3x²-4x-3).(x+1) __ (R: 3x³ - 1x² - 7x -3)
p) (x²-x-1).(x-3) _____ (R: x³ - 4x² + 2x + 3)
q) (x-1).(x-2).(x-3) ____ (R: x³ - 6x² - 3x - 9)
r) (x+2).(x-1).(x+3) ____ (R: x³ + 4x² + 3x + 1)
s) (x³-2).(x³+8) _______ (R:
t) (x²+2).(x²+6) _______ (R:



DIVISÃO DE UM POLINOMIO POR UM MONOMIO

Vamos efetuar as divisões:

a) (8x⁵ - 6x⁴) : (+2x) = 4x⁴ - 3x³
b) (15x³ - 4x²) : (-5x) = -3x² + 4x/5


Conclusão:Dividimos cada termo do polinômio pelo monômio.

EXERCÍCIOS

1) Efetue as divisões:
a) ( 12x² - 8x) : (+2x) =
b) (3y³ + 6y²) : (3y) =
c) ( 10x² + 6x) : (-2x) =
d) (4x³ - 9x) : (+3x) =
e) ( 15x³ - 10x²) : (5x²)
f) (30x² - 20xy) : (-10x)
g) (-18x² + 8x) : (+2x)
h) (6x²y – 4xy²) : (-2x)

2) Efetue as Divisões:

a) ( x³ + 2x² + x ) : (+x) =
b) (x² + x³ + x⁴) : (+x²) =
c) (3x⁴ - 6x³ + 10x²) : (-2x²) =
d) (x⁷ + x⁵ + x³) : (-x²) =
e) (3x²y – 18xy²) : (+3xy) =
f) (7x³y – 8x²y²) : (-2xy) =
g) (4x²y + 2xy – 6xy²) : (-2xy) =
h) (20x¹² - 16x⁸ - 8x⁵) : ( +4x⁴) =
i) (3xy⁴ + 9x²y – 12xy²) : (+3xy) =

DIVISÃO DE POLINÔMIO POR POLINÔMIO
explicaremos como se efetua a divisão de polinômios pelo método de chaves, por meio de exemplos.





Exemplo 1



Vamos efetuar a divisão:

(2x² - 5x - 12) : ( x -4)

Observe que os polinômios estão ordenados segundo as potências decrescentes de x.

a)Coloque o polinômio assim:

















b) Divida o primeiro termo do dividendo (2x²) pelo primeiro termo do divisor (x) e obtenha o primeiro termo do quosciente (2x)
















c) Multiplique o primeiro termo do quosciente (2x) pelos termos do divisor , colocando os produtos com sinais trocados embaixo dos termos semelhantes do dividendo. A seguir , reduza so termos semelhantes:












Exemplo 2

Vamos calcular a divisão









Terminamos a divisão, pois o grau de x - 1 (resto) é inferior ao de 2x² - 3x + 1 (divisor)

logo: quociente : 3x² - x - 6
resto: x -1


EXERCICIOS

1) Calcule os quocientes:

a) ( x² + 5x + 6) : (x + 2)
b) (x² - 7x + 10 ) : ( x - 2)
c) (2x² + 6x + 4 ) : ( x + 1)
d) ( x³ - 6x² + 11x – 6) : ( x – 3)
e) ( 7x³ + 27x² - 3x + 4 ) : ( x + 4)
f) (2x³ + 3x² - x – 2) : ( 2x – 3)
g) ( x³ - 6x² + 7x + 4) : (x² - 2x – 1)
h) (3x³ - 13x² + 37x – 50 ) : ( x² -2x + 5)
i) ( 10x³ - 31x² + 26x – 3) : ( 5x² - 8x + 1)
j) ( 4x⁴ - 14x³ + 15x² -17x + 5 ) : (x² - 3x + 1)

71 Comments:

At 5:44 AM, Blogger Loja do Z said...

Ótimo pra aprender e praticar. A explicação bem resumida. Gostei.

 
At 4:57 AM, Blogger Garcia said...

muito bom
obrigado pela ajuda

 
At 8:29 AM, Blogger m.stedile said...

Muito bom, me ajudou muito para praticar! Obrigado, gostei.

 
At 1:22 PM, Blogger ricardo said...

agradeço muito a vocês, tenho uma prova amanhã e graças a ajuda de vocês vou bem, não entendi nada que o professor explicou e ao entrar no site de vocês entendi, muito obrigada mesmo, adorei os exercícios!

 
At 5:28 PM, Blogger Beliebers Fan Clube said...

Nossa, adorei. Tenho prova amanha, e igual o ricardo, nao entendi nada a explicação do professor, e a sua entendi certinho, Vlw mesmo.

 
At 5:12 AM, Blogger daniel V15 said...

muito bom
deu pra praticar . ja garanti um 10 ;]] vlw ai e continue o otimo trabalho

 
At 2:32 PM, Blogger Leticia Santos Sant' Anna said...

Muito obrigada! Achei exercícios para aprender melhor!tenho prova amanhã e preciso estudar! muito obrigada!

 
At 5:10 PM, Blogger lele monique said...

Very good ;D

 
At 5:10 PM, Blogger lele monique said...

Mt bom!

 
At 6:28 AM, Blogger Ellen said...

Adorei seu blog, ajudou bastante a treinar!

 
At 1:55 PM, Blogger LUÍSA P. J. said...

muiiito bom! marvilhoso! me ajudou muiito!

 
At 5:55 AM, Blogger PMSrafael said...

Gostei!
Agora descobri da onde minha professora im primiu a matéria.Rsrs.
Legal!:)

 
At 9:41 AM, Blogger LuckyHolfe said...

Ótimo pra aprender e praticar. A explicação bem resumida. Gostei.

 
At 6:03 AM, Blogger Matheus Wesley said...

Gostei, a maior parte ta bem explicada e resumida, só a parte das divisoes de polinomios por polinomios que estao bem confusas, falta uma explicação mais detalhada nessa parte.
Obrigado!

 
At 6:05 AM, Blogger Matheus Wesley said...

gostei da maior parte, so a explicação da divisao de polinomios por polinomios que está confusa e devia ser mais bem explicada.
Obrigado!

 
At 10:09 AM, Blogger polinomio said...

nossa que coisa mais facil muito muito muito muito facil
e me ajuda bastante

 
At 9:03 AM, Blogger Mirttes Rodrigues said...

como eu faço 4x³-3x+4 (x-4) por favor me ajude.....obrigada

 
At 9:04 AM, Blogger Mirttes Rodrigues said...

como eu faço 4x³-3x+4 (x-4) por favor me ajude...obrigada

 
At 11:43 AM, Blogger Ana 2011 said...

Obrigada! Ajudou muito a minha filha.

 
At 5:08 AM, Blogger isadora reche said...

nossa muito bom o seu blog adorei deu para aprender e praticar tudo vlw mesmo bjoos

 
At 3:17 PM, Blogger Carlos Daniel said...

Otimos exemplos, grato pela colaboração.

 
At 4:15 PM, Blogger João Víctor said...

na verdade não é a g) desculpa , é a h)!!

 
At 8:55 AM, Blogger The sims 3 & cia said...

muito bom, agora estou pronto para fazer uma boa prova de matemática com polinômios!

 
At 7:44 AM, Blogger iolanda be cool said...

ta muito bem :)

 
At 12:08 PM, Blogger Vylia said...

Excelente!!! Aprendi demais, resolvendo os seus exercícios! Obrigada.

 
At 7:09 AM, Blogger allysom said...

Muito bom eu aprendi a fazer a divisão de polinômios, mais ainda não aprendi a fazer o que estou querendo aplicar esse conhecimentos para desenvolver Limites.

 
At 1:12 PM, Blogger Carros Antigos said...

tenho prova amnhã... gostei dos exercicios , são parecidos com os que a professora passou na sala .. ;)

 
At 3:03 PM, Blogger Alane Vieira Gomes ♥ said...

me ajudou muito para tirara minhas duvidas em DIVISÃO DE POLINÔMIO POR POLINÔMIO e os exemplos foram benéficos para me ajudar a treinar para minha prova.

Obrigada!

 
At 5:56 PM, Blogger Stéphani said...

Noosa, me ajudou muitoo p/ a prova de amanha mas eu não entendi o exemplo da adição de polinômios, mas tudo bem, acertei todas e acho que vou tirar uma nota alta na prova.
Obg.

 
At 9:17 AM, Blogger dudu said...

gostei muito daqui sempre que eu precisa de ajudar eu venho aqui nesse blog

 
At 3:23 PM, Blogger jao fodao said...

tem alguns exercicios errados

 
At 4:10 PM, Blogger Harry Potter!! said...

muito bom...pena q tem respostas erradas...

 
At 2:46 PM, Blogger Diego said...

tem respostas erradas aii vey! Edita aii na moral!

 
At 6:35 PM, Blogger Pedro Tomáz said...

obrigado por tirar as minhas dúvida. estou estudando no 1º ano do ensino médio, mas não me lembrava como fazer os exercícios de polinômios

 
At 4:43 PM, Blogger kelvao said...

Muita boa a sua explicacaozinha me ajudou conglatrions

 
At 4:44 PM, Blogger kelvao said...

Muita boa a sua explicacaozinha me ajudou conglatrions

 
At 7:42 PM, Blogger joedson said...

This comment has been removed by the author.

 
At 3:52 PM, Blogger Thor said...

Ás letras Q e R dá questão 1 de multiplicação de polinômio está errada?Pois meu resultado deu outro.

 
At 2:12 PM, Blogger Blogger de dicas.com said...

Boa noite amigo!

Na questão 1 do exercício de divisões, letra "d", informa o seguinte:
4x³ - 9x : 3x ;

Qual a solução? Pelo que fiz, ficou:
Resto = x³ - 9x e quociente = x².

Está correto?

 
At 4:50 PM, Blogger beatriz brilhante said...

3x-2x-41x+60 por x-3 e 3x4

 
At 4:50 PM, Blogger beatriz brilhante said...

3x-2x-41x+60 por x-3 e 3x4

 
At 4:57 PM, Blogger Soqgole Telemaco said...

o meu professor pegol os mesmos exercicios para a prova e para o trabalho.kkkkkk

 
At 4:58 PM, Blogger Soqgole Telemaco said...

o meu professor pegol os mesmos exercicios para a prova e para o trabalho.kkkkkk

 
At 5:57 AM, Blogger Pedro Henrique Lopes said...

Very Good !!! Gostei d+

 
At 12:26 PM, Blogger UGMAN said...

em um exemplo vcs erraram , -3c+4c, n da -7c , da +1c

 
At 4:34 PM, Blogger O Estudante said...

Legal, visitem o meu gente, pfv ^^: http://aquelamatematica.blogspot.com.br/

 
At 4:34 PM, Blogger O Estudante said...

Legal, visitem o meu gente, pfv ^^: http://aquelamatematica.blogspot.com.br/

 
At 7:10 AM, Blogger fernand said...

eu estou estudando para uma prova através daki e mt bem explicado e agora consegui entender melhor que na sala + vcs nao acham que estes cálculos estão mt faceis eu to com medo de na prova aparecer cálculos enormes e difíceis :(

 
At 4:38 PM, Blogger GabrieleeCoouto said...

This comment has been removed by the author.

 
At 4:39 PM, Blogger GabrieleeCoouto said...

A questão Q de multiplicação de polinômios está com o resultado errado.

 
At 5:37 PM, Blogger Luciano Mota said...

o resultado da E subtração de polinômios esta errada o resultado seria +2a²+2a

 
At 5:37 PM, Blogger Luciano Mota said...

o resultado da E subtração de polinômios esta errada o resultado seria +2a²+2a

 
At 3:26 PM, Blogger Stela Caroline said...

muito bom valeu pela ajuda

 
At 3:26 PM, Blogger Stela Caroline said...

This comment has been removed by the author.

 
At 7:59 AM, Blogger joana antunes said...

há um erro nos polinómios, na subtracção, no exercício (E)o resultado dá 2a ao cuadrado +2a ao cuadrado e nao -2a ao cuadrado + 2a ao cuadrado.
de resto está ótimo
:) ;)

 
At 7:59 AM, Blogger joana antunes said...

há um erro nos polinómios, na subtracção, no exercício (E)o resultado dá 2a ao cuadrado +2a ao cuadrado e nao -2a ao cuadrado + 2a ao cuadrado.
de resto está ótimo
:) ;)

 
At 7:59 AM, Blogger joana antunes said...

há um erro nos polinómios, na subtracção, no exercício (E)o resultado dá 2a ao cuadrado +2a ao cuadrado e nao -2a ao cuadrado + 2a ao cuadrado.
de resto está ótimo
:) ;)

 
At 12:36 PM, Blogger Mariana Neves said...

This comment has been removed by the author.

 
At 6:45 AM, Blogger João Troncoso said...

gostei mt otimo blog obg ^^

 
At 6:46 AM, Blogger João Troncoso said...

muito bom ajudou mt obg^^

 
At 8:07 AM, Blogger Paola said...

cade a resposta da divisões de polinômio por polinônio.Eu preciso!!!

 
At 2:57 PM, Blogger William Souza said...

mt bom valeu






 
At 5:31 PM, Blogger Gustavo Amaral said...

cade as respostas do divisão de polinomio por monomio???? necessito dessa porra

 
At 11:12 AM, Blogger Nando Huehue BR said...

Kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk ,então são 3 , tb tenho prova amanhã

 
At 11:38 AM, Blogger Nando Huehue BR said...

Kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk ,então são 3 , tb tenho prova amanhã

 
At 2:56 PM, Blogger Unknown said...

Muito bom tenho prova amanhã e vc me ajudou mt 😉

 
At 3:41 PM, Blogger SamTheCrash Channel said...

Tu É Mestre das parada Vlw Tenho Prova Amanhã valeu maninho

 
At 4:09 PM, Blogger Guilherme Passos said...

A SUBTRAÇÃO LETRA B ESTá errada! a resposta certa é 3x² - 14x + 7;

 
At 4:09 PM, Blogger Guilherme Passos said...

This comment has been removed by the author.

 
At 4:09 PM, Blogger Guilherme Passos said...

This comment has been removed by the author.

 
At 4:22 PM, Blogger Guilherme Passos said...

A resposta da alternativa B de subtração está errada.A resposta está (3x² - 14x + 11) mas a correta é (3x² - 14x + 8) pois: + 9 - 2 = +7,não 11.

 

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